Im Jahre 1920 entwickelt der deutsche Mathematiker David Hilbert ein Gedankenexperiment, mit dem er den Menschen die Ungreifbarkeit des Konzeptes von Unendlichkeit aufzeigen will.
Es war folgendermaßen aufgebaut:
In einer Stadt gibt es ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern und einem fleißig arbeitenden Portier.
Momentan ist das Hotel komplett ausgebucht, da unendlich viele Gäste eingecheckt sind.
Eines Abends kommt ein Mann herein und will noch einen Raum zum Schlafen haben. Aber anstatt ihn wegzuschicken, hat der Portier eine Idee.
Er bittet jeden Gast ein Zimmer weiter zu ziehen. Also Gast 1 in Zimmer 2, 2 in 3, usw.
Jeder Besucher geht also in Zimmer n+1
Da es unendlich viele Zimmer gibt, haben auch unendlich viele +1 Gäste platz.
Das Ganze ist unendlich wiederholbar.
Eines Tages kommt eine Reisegruppe mit 50 Teilnehmern, sodass jeder Hotelgast in das Zimmer n+50 ziehen muss, damit die ersten 50 Zimmer frei werden.
Am nächsten Abend kommt aber ein unendlich langer Reisebus mit einer abzählbaren unendlichen Anzahl an Passagieren.
Obwohl die gesamte Situation sehr komplex ist, hat das Hotel eine Lösung parat.
Der Gast in Zimmer 1 zieht in 2, der Bewohner in Raum 2 in 4, 3 in 6, usw.
Generell also n in 2n
Jetzt werden nur noch die unendlich geraden Zahlen (bei den Zimmernummern) genutzt.
Somit sind die unendlich vielen ungeraden Räume frei, damit die unendlich vielen Menschen aus dem unendlichen Bus einziehen können.
Und obwohl es doppelt so viele Gäste gibt, verdient das Hotel immer noch gleich – unendlich viel Geld.
Da sich das Hotel in der Region herumspricht und so immer beliebter wird, wollen auch mehr Mensch dorthin.
Eines Nachts steht eine unendlich langen Schlange von unendlich langen Reisebussen mit jeweils einer abzählbaren unendlichen Anzahl an Gästen vor dem Hotel.
Alle wollen ein Zimmer.
Nun muss der Portier alle unterbringen, da das Hotel ansonsten unendlich viel Geld verliert.
Da es unendlich viele Primzahlen (nur durch sich selbst und 1 teilbar) gibt, schickt der Portier alle Gäste nach folgendem Prinzip in andere Zimmer:
Die erste Primzahl (2) hoch der Zimmernummer.
Also z.B. 2^5 . Der Gast in Zimmer 5 geht also in Raum Nr. 32
Die Gäste aus dem ersten unendlichen Bus verteilt er so:
Die zweite Primzahl (3) hoch der Sitzplatznummer.
Also z.B. 3^8 . Die Person auf Platz 8 geht in Raum Nr. 6561
Die Menschen aus dem nächsten unendlichen Bus machen es genauso.
Nur mit der nächsten Primzahl, also 5.
Das geht immer so weiter. (7, 11, 13, 17, usw.)
So gibt es keine überlappenden Zimmernummern.
Allerdings gibt es auch ein paar unbelegte Räume.
Möglich war diese Strategie, weil sich das Konzept von Hilberts Hotel nur mit dem niedrigsten Level von Unendlichkeit beschäftigt – der zählbaren Unendlichkeit.
Genannt: Oleph 0
Die Zimmernummern und Busplätze sind natürliche Zahlen.
Würde man das Experiment mit reellen Zahlen durchführen, gäbe es kein System, mit dem man jede Zahl systematisch einschließen kann.
Es gäbe negative Räume im Keller und Bruchräume (z.B. 1/3 Raum), die kleiner sind als andere. Ein Raum mit PI (π) wäre z.B. rund und unendlich groß.
Dieses Experiment zeigt uns eindrucksvoll auf, wie schwierig es für uns ist, ein so großes Konzept wie Unendlichkeit zu begreifen.
